Résumé Trois processus de quantification permettent à l’adulte et à l’enfant normal de déterminer combien d’éléments composent un ensemble : le subitizing, le dénombrement et l’estimation.


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Développement et troubles des processus de quantification
Anne-Sophie Lecointre (1), Raphaëlle Lépine (2) et Valérie Camos (3)
(1) Laboratoire Cognition et Développement (CNRS - UMR 8605)

Université René Descartes - Paris V - Institut de Psychologie - 71, avenue Edouard Vaillant

92774 Boulogne-Billancourt Cedex, France

Institut für Psychologie der Universität Würzburg - Lehrstuhl IV Röntgenring - 10 97070 Würzburg, Allemagne

E-mail : a.sophie.lecointre@marine-mammal-cognition.de
(2) Laboratoire d'Etude de l'Apprentissage et du Développement (CNRS - UMR 5022)

Université de Bourgogne - Pôle AAFE - Esplanade Erasme - BP 26513

21065 Dijon Cedex, France

E-mail : Raphaelle.Lepine@leadserv.u-bourgogne.fr
(3) Laboratoire Cognition et Développement (CNRS - UMR 8605)

Université René Descartes - Paris V - Institut de Psychologie - 71, avenue Edouard Vaillant

92774 Boulogne-Billancourt Cedex, France

E-mail : valerie.camos@univ-paris5.fr

Résumé



Trois processus de quantification permettent à l’adulte et à l’enfant normal de déterminer combien d’éléments composent un ensemble : le subitizing, le dénombrement et l’estimation. Le subitizing permet une quantification rapide et efficace des collections, mais sous réserve que leur taille reste limitée (jusqu’à 4 objets chez l’adulte). Le dénombrement permet quant à lui une quantification précise quelle que soit la taille des collections, mais il nécessite d’autant plus de temps que la quantité augmente. Enfin, l’estimation permet uniquement une quantification très approximative de la taille d’un ensemble. Dans ce chapitre, le développement normal des deux procédures permettant une appréhension exacte de la numérosité sera présenté et nous évoquerons les difficultés spécifiques rencontrées par certaines populations comme les enfants qui présentent un retard mental, les enfants atteints de troubles moteurs et ceux atteints de troubles langagiers. Nous verrons comment certains troubles affectent particulièrement l’un des deux processus de quantification, confirmant la distinction classiquement proposée, et nous tenterons d’expliquer dans quelle mesure certaines pathologies ou lésions peuvent affecter l’appréhension de la numérosité.
Bien que Piaget n’accordât que peu d’importance à l’activité de quantification dans la construction du nombre, les études plus récentes montrent qu’en fait les processus de quantification sont fondamentaux pour l’acquisition ultérieure des autres habilités numériques et arithmétiques (Barrouillet & Camos, 2003). Ainsi, c’est au travers le comptage d’objets que l’enfant va effectuer ses premières opérations (additions et soustractions) et ceci avant même tout enseignement explicite (Siegler, 1996). Ces activités de quantification représentent en fait la première réelle manipulation des nombres par l’enfant. La recherche en psychologie cognitive décrit traditionnellement trois processus permettant de quantifier une collection, c’est-à-dire permettant de déterminer le nombre total d’objets composant cette collection : le dénombrement, le subitizing et l’estimation. Si le dénombrement et le subitizing permettent une quantification exacte des collections, l’estimation n’apporte qu’une réponse approximative. Bien que quelques études se soient attachées à comprendre les mécanismes cognitifs impliqués dans l’estimation (Allik & Tuulmets, 1991; Cuneo, 1982; Vos, van Oeffelen, Tibosch & Allik, 1988), son rôle dans le développement des habiletés numériques est encore très mal connu. Ce chapitre s’intéressera donc exclusivement au dénombrement et au subitizing.

Lorsqu’on demande à un adulte ou un enfant de quantifier une collection, la courbe de ses résultats a une forme très particulière (Figure 1). Que l’on mesure les taux d’erreurs ou les temps pour répondre, ceux-ci sont pratiquement invariants pour les petites tailles de collections, puis au-delà d’une certaine taille (n sur la Figure 1), ils augmentent de façon linéaire avec la taille. Cet accroissement linéaire rend compte d’un processus sériel de comptage, i.e. le dénombrement. Par contre en dessous de n, un autre processus qui semble insensible à la taille est en œuvre, i.e. le subitizing. Néanmoins, la distinction entre ces deux processus n’est pas aussi simple et certains auteurs vont même jusqu’à nier l’existence des deux processus (Gelman & Gallistel, 1978). Dans ce chapitre, nous exposerons donc les différents modèles théoriques qui actuellement essayent de rendre compte de ce pattern de résultats qui a été de très nombreuses fois observé. Nous essayerons de décrire le développement de ces deux processus et de comprendre comment certaines pathologies vont affecter leur mise en œuvre.

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Insérer Figure 1

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I. LE DENOMBREMENT
1.1. Définition

Le dénombrement est le processus de quantification qui jusqu’à présent a été le plus étudié. L’intérêt qui lui est porté provient très certainement de la place importante du dénombrement dans l’acquisition des habilités arithmétiques. Ainsi, Halford (1993) souligne que l’acquisition du dénombrement constitue une étape fondamentale pour le développement du concept du nombre. D’autres auteurs relèvent l’importance du dénombrement dans la mise en place de tâches mathématiques telles que la résolution d’opérations arithmétiques (Groen & Parkman, 1972, Svenson, 1975) ou les tâches de conservation (Clements, 1984). Le rôle du dénombrement dans le développement des capacités mathématiques est également confirmé par une étude de Geary, Bow-Thomas et Yao (1992) qui montre que les enfants de 7 ans qui ont des difficultés en mathématiques ont en fait des déficits dans l’acquisition du dénombrement.

S’attacher au dénombrement lui-même nécessite de porter une attention particulière au fait qu’il s’agit d’un processus constitué de plusieurs composantes (Beckwith & Restle, 1966, Potter & Levy, 1968). En effet, afin de dénombrer, l’individu doit énoncer, oralement ou mentalement, la chaîne numérique. Parallèlement, il doit pointer chaque objet, soit avec les doigts soit avec les yeux, en évitant les oublis et les doubles comptages. Enfin, il doit coordonner l’énonciation des mots-nombres et son pointage de telle manière que pour chaque mot-nombre cité corresponde un et un seul objet. Ces trois composantes (i.e., énonciation, pointage et coordination) permettent finalement de savoir précisément combien d’éléments constituent une collection.

Du fait de l’importance du dénombrement dans l’acquisition des habilités numériques et du concept du nombre, plusieurs auteurs se sont intéressés à comprendre comment l’enfant acquiert ses capacités à dénombrer. En réponse à cette question, divers modèles théoriques ont été proposés. À partir d’études menées auprès de bébés et de jeunes enfants, ces modèles tentent d’expliquer comment se développent les habiletés de quantification.
1.2. Les modèles théoriques du dénombrement

Bien que la plupart des chercheurs s’accordent sur l’existence d’une certaine sensibilité aux quantités discrètes dès la naissance (Briars & Siegler, 1984 ; Fuson, 1988 ; Gelman & Gallistel, 1978 ; Wynn, 1990), tous n’accordent pas la même importance à la part de l’inné par rapport à celle de la pratique. En effet, en ce qui concerne l’émergence du dénombrement dans l’enfance, deux points de vue théoriques s’opposent. La première théorie stipule que des principes innés guident le développement des habiletés de comptage (Gelman & Gallistel, 1978 ; Gelman & Meck, 1983), c’est la théorie dite des « principes-en-premier ». La seconde position considère que les enfants récitent tout d’abord les mots-nombres par pure répétition d’un apprentissage par cœur et qu’ils n’acquièrent les concepts du dénombrement que petit à petit (Briars & Siegel, 1984), c’est la théorie dite des « principes-après ».

1.2.1. La théorie des « principes-en-premier »

Dans un livre fondamental concernant l’acquisition du nombre chez l’enfant, Gelman et Gallistel (1978) suggèrent que le comptage des jeunes enfants est guidé par cinq principes : la correspondance un à un, l’ordre stable, la cardinalité, l’abstraction et la non-pertinence de l’ordre.

Le principe de correspondance un à un stipule que chaque élément compté ne peut être associé qu’à une seule étiquette. La connaissance de cette règle ne se reflète pas dans le fait que l’enfant utilise la séquence standard pour compter mais dans l’existence d’étiquettes propres à chaque item. Un enfant qui compte en utilisant une séquence inventée peut donc suivre ce principe à condition qu’il ne mentionne pas deux fois le même mot-nombre au cours de son dénombrement.

Pour satisfaire au principe d’ordre stable, l’enfant doit utiliser la même séquence de mot-nombres pour le dénombrement de différentes collections. L’enfant peut donc compter « un, deux, cinq » pour une collection de trois items et « un, deux, cinq, huit » pour une collection de quatre items.

Le principe de cardinalité est satisfait quand l’enfant a compris que le mot-nombre associé au dernier item compté a une signification particulière. Le dernier nombre, qu’il soit ou non le nombre correct dans la séquence standard, représente la numérosité de la collection. Ce principe est considéré comme su quand l’enfant cite le dernier mot-nombre quand on lui demande combien il y a d’objets dans une collection qu’il vient de dénombrer.

Le principe d’abstraction est la capacité qu’a l’enfant de savoir ce qui est comptable. Ce principe ne guide pas le comptage en lui-même, mais définit les domaines auxquels le comptage peut être appliqué. Un enfant qui comprend que le comptage peut être appliqué à toute sorte d’item doit être capable de compter des collections d’objets homogènes mais également des collections hétérogènes (objets qui diffèrent en couleur, taille, forme et arrangement) et même des actions ou des sons.

Le principe de non-pertinence de l’ordre correspond au fait que quel que soit l’ordre dans lequel les objets sont comptés, de droite à gauche ou de gauche à droite, ou en débutant par l’un quelconque des éléments, le résultat reste inchangé.

Pour Gelman et Gallistel (1978), ces principes existeraient chez l’enfant avant même qu’il ait une quelconque expérience du dénombrement. Ils permettraient à l’enfant de reconnaître les activités de dénombrement comme relevant du dénombrement, et non d’activités dépourvues de sens, et d’acquérir et de contrôler ses propres procédures de dénombrement. En d’autres mots, ces principes guident et structurent le comptage de l’enfant et servent de référence à partir de laquelle l’enfant peut évaluer son comptage. Cependant, cela ne veut pas dire que le comportement général de l’enfant sera toujours en accord avec ces principes. Par exemple, un enfant peut échouer à utiliser un comptage avec un ordre stable parce qu’il ne comprend pas que le principe d’ordre stable s’applique à toutes les collections, petite ou grande, ou bien parce qu’il n’a pas encore mémorisé suffisamment de mot-nombres (Fuson, 1988). Dans ces conditions, l’enfant ne réussit pas la tâche de dénombrement parce que le coût de gestion de cette activité est trop important, et non pas parce qu’il ne comprend pas les principes de comptage. En d’autres mots, les performances de l‘enfant peuvent être réduites bien qu’il dispose des compétences nécessaires à la réalisation de la tâche.

En conséquence, si ce sont bien les contraintes liées à l’exécution et au contrôle des activités qui entraînent une chute des réussites, il devrait suffire de diminuer ces contraintes pour induire une amélioration des performances de dénombrement. Dans cette perspective, Gelman et Meck (1983) ont conduit une série d’expériences pour évaluer la compréhension des principes de comptage chez des enfants de 3-5 ans en limitant au maximum les contraintes liées à la performance. Pour ce faire, elles demandèrent aux enfants de juger les performances d’une poupée qui apprend à compter. La poupée peut dénombrer correctement ou faire des erreurs qui violent un des principes de dénombrement. Ainsi, lorsque la poupée viole le principe de correspondance terme à terme, elle peut, par exemple, compter deux fois un des items. Si l’enfant détecte la violation, cela implique qu’il comprend le principe de correspondance un à un, même s’il ne peut pas dire explicitement pourquoi la poupée se trompe. Ainsi, Gelman et Meck (1983) ont démontré que 75% des enfants de 3 ans détectaient les violations de ce principe. De plus, certains des enfants de 3 ans arrivaient presque à décrire pourquoi la poupée se trompait. Par exemple, pour un double comptage, l’enfant disait « elle a recommencé ». En outre, même les enfants connaissant peu le chaîne numérique verbale tendaient à utiliser un nombre de mots correspondant à la quantité à dénombrer (e.g. face à une collection de deux objets l’enfants pouvaient dire « deux, cinq »). Ils semblaient suivre ainsi le principe de correspondance un à un (Gelman & Gallistel, 1978).

Dans la même série d’expérience consistant à juger le dénombrement d’une poupée, Gelman et Meck (1983) se sont également intéressés aux essais où la poupée dénombrait correctement les objets mais pas selon l’ordre standard de gauche à droite. Bien que les enfants n’avaient jamais vu aucun dénombrement de la sorte, la plupart le considérait comme correct. Gelman et Gallistel (1978) ont également montré que les jeunes enfants étaient prêts à accepter de débuter le dénombrement par n’importe quel objet, et pas nécessairement par l’objet le plus à gauche. Ces recherches suggèrent que le principe de non-pertinence de l’ordre est très tôt accessible aux enfants.

Cependant, les expériences de Gelman et Meck (1983) ont fait l’objet de nombreuses critiques. Par exemple, Briars et Siegler (1984) n’ont pu répliquer ces résultats chez des enfants de 3 ans. Ils ont toutefois obtenu les mêmes résultats chez des enfants de 5 ans. Gelman et Meck (1986) expliquèrent cette différence par le fait que dans l’expérience de Briars et Siegler (1984) les enfants devaient juger de la conventionalité du dénombrement et non de sa justesse.

Une étude de Baroody (1984) remet, elle, en cause la compréhension précoce du principe de non-pertinence de l’ordre. Barrody (1984) demandait à des enfants de dire combien il y a d’objets dans une collection (i.e. déterminer la cardinalité), de dire si on peut commencer à compter « par ici ou par là » et enfin de dire si en amorçant le comptage ailleurs on trouverait le même résultat. À cette dernière question, Baroody (1984) notait que les enfants de 5-6 ans pensent qu’effectivement dénombrer dans deux ordres différents produit deux résultats différents. Cependant, selon Gelman, Meck et Merkin (1986) la formulation de la question était en cause. La manière dont Baroody (1984) posait sa question était interprétée par les enfants comme indiquant que leur première réponse (le résultat du dénombrement) était fausse et que, par conséquent, ils fournissaient un autre résultat. Et de fait, en proposant déjà aux enfants de commencer leur comptage par la fin puis de leur demander « combien cela fera », Gelman, Meck et Merkin (1986) ont obtenu des performances très différentes de celles observées par Baroody (1984).

En ce qui concerne le principe de cardinalité, les travaux de Gelman et ses collaborateurs ont également été critiqués. Le fait que les jeunes enfants répètent souvent le dernier mot-nombre (Gelman & Gallistel, 1978) et qu’ils sont capables de détecter qu’une marionnette se trompe (Gelman, Meck & Merkin, 1986) met en évidence selon Gelman l’existence du principe de cardinalité. Cependant, répéter le dernier mot-nombre peut être une simple imitation (Frye, Braisby, Lowe, Maroudas & Nicholls, 1989). En effet, Fuson et Hall (1983) ont montré que des jeunes enfants ayant déjà dénombrés une collection, ne répondaient pas par un mot-nombre à la question « il y a combien d’objets ? »  mais ils recommençaient le dénombrement de cette collection. Selon ces auteurs, cette question ferait référence à la situation de dénombrement dans son intégralité et non à une propriété (i.e., la cardinalité) de la collection. De plus, leurs réponses étaient différentes si la question renvoyait à une classe d’objets (combien y-a-t-il d’arbres dans cette forêt ?) plutôt qu’à une collection (combien y-a- t-il de fleurs ?). Les enfants avaient tendance à recompter lorsqu’ils étaient face à une classe d’objets (Markman, 1979). Toutefois, ce résultat n’a pas pu être répliqué (Fuson, 1988). Enfin, les enfants ne dénombraient pas spontanément lorsqu’ils devaient donner un nombre précis d’objets (Michie, 1984 ; Schaeffer, Eggleston et Scott, 1974 ; Wynn, 1990).

Enfin, en ce qui concerne le principe d’abstraction, les jeunes enfants comptent assez tôt des collections hétérogènes comprenant par exemple des objets animés et inanimés (Fuson, Pergament & Lyons, 1985 ; Gelman & Tucker, 1975), des actions ou des sons (Wynn, 1990). Ces expériences mettant en évidence l’existence d’un principe d’abstraction chez les jeunes enfants ont été critiqués par Shipley et Shepperson (1990). Ces auteurs ont en effet montré que les performances de dénombrement dépendaient des propriétés physiques des objets. Par exemple, les enfants ont beaucoup de difficultés à dénombrer les diverses sortes d’objets ou les diverses couleurs présentes dans une collection. Toutefois, le niveau de complexité du dénombrement dans ces dernières expériences semble dépasser celui du dénombrement d’objets. Le dénombrement des catégories d’objets présentes dans une collection demanderait une plus grande abstraction (e.g., être capable de distinguer des catégories, savoir classer les objets en ces diverses catégories) que le simple dénombrement d’objets différents.

En résumé, pour Gelman, les principes de comptage sont innés et, les changements observés au cours du développement ne sont pas dus à l’acquisition de concepts ou principes nouveaux mais sont le résultat d’une meilleure gestion de l’activité de dénombrement. Grâce à la pratique l’enfant apprend à exprimer de manière de plus en plus efficace ses connaissances dans le comptage. De nombreuses recherches ont mis en évidence la compréhension précoce des principes de base sous-tendant le comptage notamment chez des enfants de 3 ans. Cependant, non seulement ces recherches ont été principalement effectuées par Gelman et ses collaborateurs mais, de plus, elles ne sont pas restées sans critiques (c.f. les différentes études citées se rapportant à chacun des principes). Grégoire et Van Nieuwenhoven (1995) ont également montré que certains enfants relativement âgés (5 ans) ne maîtrisaient ni ne coordonnaient les principes sous-jacents au dénombrement. Un débat subsiste donc quant à la manière dont s’acquiert et se développe les capacités de dénombrement. Certains considèrent que, comme le suggère Gelman, le dénombrement repose sur une connaissance implicite des principes abstraits de dénombrement (Greeno, Riley et Gelman, 1984). En revanche, pour d’autres (eg, Halford, 1993), le dénombrement s’appuie sur des expériences spécifiques qui seraient utilisées par analogie, ce qui remet alors en cause la primauté des principes.

1.2.2. La théorie des « principes-après »

Par opposition à la théorie des « principes-en-premier » où les principes sont innés, la théorie des « principes-après » propose que les principes soient appris progressivement par répétition des procédures de dénombrement qui ont elles-mêmes été acquises par imitation (Briars & Siegler, 1984 ; Fuson, 1988 ; Fuson & Hall, 1983). Dans cette perspective, le comptage de l’enfant n’est pas guidé par une connaissance conceptuelle. L’enfant prend connaissance des principes de base en se rendant compte petit à petit de l’existence de certaines règles dans le dénombrement. Le dénombrement ne serait donc d’abord qu’une activité sans but, une routine, et l’enfant ne découvrirait que progressivement ses liens avec la cardinalité (Fuson, 1988 ; Wynn, 1990). Cette conception ne réfute cependant pas le fait que l’enfant soit né avec une certaine sensibilité au nombre. Selon ce point de vue, la sensibilité innée des nourrissons à la quantité constituerait le fondement pour le développement futur des habiletés de comptage mais ne serait plus, comme dans la théorie des « principes-en-premier », la base structurelle sur laquelle tout se construit.

Considérons, par exemple, l’acquisition du principe de cardinalité. Différentes études montrent que le tout jeune bébé de quelques semaines présente une sensibilité au nombre (cf. Chapitre 1). Cette sensibilité se caractérise notamment par la possibilité de différenciation de collections de différentes tailles si les numérosités considérées appartiennent à l’intervalle de subitizing (entre 1 et 4 items ; Starkey & Cooper, 1980, Starkey, Spelke & Gelman, 1990, Strauss & Curtis, 1984). Au cours du développement, l’enfant va apprendre que ces différentes numérosités peuvent être associées à des mots différents. La capacité à subitizer (c’est-à-dire à percevoir globalement) serait alors la base pour inférer que chaque quantité réfère à un mot-nombre unique (Schaeffer, Eggleston & Scott, 1974). Par exemple, un tout jeune enfant à qui l’on propose des bonbons sait que deux bonbons diffèrent de trois bonbons. Cet enfant est capable de subitizer de petites collections avant de savoir dénombrer (Shipley & Shepperson, 1990 ; Wagner & Walters, 1982). Lorsque cet enfant apprend à compter, il récite tout d’abord la chaîne numérique par cœur sans lui attribuer de signification particulière (Briars & Siegler, 1984). Ce n’est qu’avec la pratique qu’il va faire le rapprochement, lors du dénombrement de petites collections, entre le dernier mot nombre énoncé et le cardinal correspondant à la quantité subitizée (Klahr & Wallace, 1976). Ainsi, l’enfant pour qui le dénombrement n’était d’abord qu’une activité sans but, découvre progressivement ses liens avec la cardinalité (Fuson, 1988, Wynn, 1990) et ce à partir de ses capacités précoces de discrimination des quantités et de subitizing.

Même si les théories des « principes-en-premier » et des « principes-avant » s’opposent quant à l’acquisition des capacités de dénombrement, il n’en demeure pas moins que tous sont d’accord pour reconnaître que l’enfant a des habiletés de quantification précoces et que ses performances s’améliorent au cours du développement grâce à la diminution des contraintes pesant sur la mise en œuvre du dénombrement.
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